Cos'è una variabile aleatoria?

Direttamente dal campus di Arcavacata, facoltà di ingegneria informatica eccovi una bella definizione di variabile aleatoria: 

Una funzione X(⋅) definita su un insieme Ω è detta variabile aleatoria se ∀x∈R vale la seguente disuguaglianza:  X(ω) ≤ x  con ω⊂Ω.

Dove: 

Ω è l'insieme degli eventi possibili (o spazio degli eventi).

ω è un sottoinsieme di Ω

x è detta realizzazione della variabile aleatoria.

In termini funzionali possiamo vedere la definizione in questo modo:

X(⋅) : Ω→x∈R

Si associa un insieme (o un sottoinsieme) di eventi ad un numero reale.

[Fonte esatta: appunti di modellistica e identificazione, grazie a pier4r.wikispaces.com ]

Altre definizioni prese dal Web

"Si dicono variabili aleatorie quelle grandezze che posso assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori.Si distinguono in variabili aleatorie discrete e variabili aleatorie continue. Le variabili discrete possono assumere solo un insieme di valori numerabile, mentre i valori possibili di quelle continue non possono essere enumerati in anticipo e riempiono "densamente" un intervallo.

Esistono anche variabili aleatorie che assumono sia valori continui che valori discreti: tali variabili sono dette variabili aleatorie miste." 
[Fonte : ishtar.df.unibo.it]

"In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable) può essere pensata come il risultato numerico di un esperimento quando questo non è prevedibile con certezza (ossia non è deterministico). Ad esempio, il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori 1,2,3,4,5,6." 
[Fonte: Wikipedia]

"La variabile aleatoria e' una variabile che puo' assumere determinazioni diverse in corrispondenza di altrettanti eventi che costituiscono una partizione dello spazio delle probabilita'."
[Fonte: www.ripmat.it]

"Se Ω è uno spazio campione, si chiama variabile aleatoria (v.a.) una qualunque funzione X : Ω → R. Se Ω è discreto, la variabile si dirà discreta, continua in caso contrario." 
[Fonte: www.mat.unimi.it]